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hg 发表于 2012-9-29 14:39

IEEE浮点数表示

[color=#333333][font=Arial][size=11.6667px]IEEE 浮点数标准的由来话说 Intel 计划给最早的 8086 增加浮点运算单元 (FPU) 时,他们请来了最好的数值分析专家来为 8087 FPU 设计浮点数格式,这位专家接着又请来了该领域的另外两位专家,这三个人 (Kahn, coonan 与 Stone) 设计了 Intel 的浮点格式,即 KCS 浮点数标准。这个标准实在太出色了,因此 IEEE 组织将 KCS 选作为 IEEE 浮点数格式的基础,即 IEEE 标准 754。
单精度浮点数IEEE 754 标准所定义的单精度浮点数的长度为 32 位,按位域可划分为:符号位、阶码位与尾数位,如下:
  31----------------------22---------------------------------------------------------0
  |                       |                                                          |
  X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X    X X X X
  | |-------------------| |----------------------------------------------------------|
符号        阶码                                     尾数符号位取 0 表示正数,取 1 表示负数。
阶码位是 8 位,这里有一点需要注意,那就是[img]http://liyanrui.is-programmer.com/user_files/LiYanrui/epics/a90d167c57db656bfdb727404141fc96a54fec24.png[/img] 的指数 n 并不能直接当作阶码来处理,需要将其与 127 (0x7f) 相加才可得到 [img]http://liyanrui.is-programmer.com/user_files/LiYanrui/epics/a90d167c57db656bfdb727404141fc96a54fec24.png[/img] 的阶码表示。
尾数的位域长度在图示中是 23 位,但实际上却是 24 位,这个位是“不可见”的,其值固定为 1,这也就是说 IEEE 754 标准所定义的浮点数,其有效数字是介于 1 与 2 之间的小数。

可以尝试写一下 1.0 这个数的二进制单精度浮点格式,这有助于更好地理解单精度浮点数格式的位域分布。
1.0 的二进制单精度浮点格式:0 0111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000

值得注意的一个问题是:书上说之所以要将指数加上 127 来得到阶码,是为了简化浮点数的比较运算,这一点我没有体会出来。但是通过 127这个偏移量 (移码),可以区分出指数的正负。阶码为 127 时表示指数为 0;阶码小于 127 时表示负指数;阶码大于 127 时表示正指数。第二个值得思考的问题是:使用 24 位尾数,大概可以得到 [img]http://liyanrui.is-programmer.com/user_files/LiYanrui/epics/147cfeab888d881a33120c9dfd11204eaed3444c.png[/img] 个十进制数字的精度,其中的“半个”数字由 FPU 的好意而产生的一个随机数字,这个数字通常接近 5 (四舍五入?)。
第三个问题是我经常要碰到的:IEEE 754 标准所定义的单精度浮点数所表示的数的范围是多少?书上给出的答案是大约为 [img]http://liyanrui.is-programmer.com/user_files/LiYanrui/epics/cb4a614eb2dda883da05d982bbdf132864401578.png[/img] 或者大约 [img]http://liyanrui.is-programmer.com/user_files/LiYanrui/epics/fda9bf538894dab2819d917613a73f6b6e1a0973.png[/img] 。这个比较好理解,因为尾数的最大值是接近 2,而指数的范围是 [-127, 127],那么这个范围就可以表示为[img]http://liyanrui.is-programmer.com/user_files/LiYanrui/epics/cd9c9c6c0e0e55f9aa9c48ed34127cf4f5f4aa60.png[/img] 。

浮点数的存储
大家都知道任何数据在内存中都是以二进制(1或着0)顺序存储的,每一个1或着0被称为1位,而在x86CPU上一个字节是8位。比如
一个16位(2字节)的short int型变量的值是1156,那么它的二进制表达就是:00000100 10000100。由于Intel
CPU的架构是Little Endian(请参数机算机原理相关知识),所以它是按字节倒序存储的,那么就因该是这样:10000100
00000100,这就是定点数1156在内存中的结构。

那么浮点数是如何存储的呢?目前已知的所有的C/C++编译器都是按照IEEE(国际电子电器工程师协会)制定的IEEE浮点数表示法来进行运算的。这种结构是一种科学表示法,用符号(正或负)、指数和尾数来表示,底数被确定为2,也就是说是把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再加上符号。下面来看一下具体的float的规格:
float共计32位,折合4字节。由最高到最低位分别是第31、30、29、……、0位31位是符号位,1表示该数为负,0反之。30-23位,一共8位是指数位。22-0位,一共23位是尾数位。每8位分为一组,分成4组,分别是A组、B组、C组、D组。每一组是一个字节,在内存中逆序存储,即:DCBA
双精度浮点数相对于单精度浮点数格式,双精度的阶码变为 11 位,移码变为为 1,023,尾数变为 53 位 (包含那个固定为 1 的隐含位)。这样,再加上符号位,双精度浮点数的长度为 64 位,提供了大约 [img]http://liyanrui.is-programmer.com/user_files/LiYanrui/epics/fb6a8f99a492f09844e1340a5af27aff2f25bad9.png[/img] 的动态范围以及 [img]http://liyanrui.is-programmer.com/user_files/LiYanrui/epics/de0b8d1e30062fe64f136608e020eaa603164b3e.png[/img] 个数字的精度。
扩展精度浮点数为了追求更高的浮点运算精度,Intel 又搞出来扩展精度格式。扩展精度的浮点数长度为 80 个位,相对于双精度浮点数所多出来的 16 个位,有 12 位加入到尾数位中,有 4 位加入到阶码位中。
据说 Intel IA32 架构的的 FPU都是采用扩展精度浮点数进行运算的。当程序调入单、双精度浮点数时,FPU 将它们转为扩展精度,运算结束后再将结果转成 (四舍五入) 对应的单、双精度浮点数。

浮点数表示示例

现在让我们按照IEEE浮点数表示法,一步步的将float型浮点数123456转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数 时,直接将整数部转化为二进制表示:1 11100010 01000000也可以这样表示:11110001001000000.0然后将小数点向左移,一直移到离最高位只有1位,就是最高位的 1:1.11100010010000000一共移动了16位,在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1,所以原数就 等于这样:1.11100010010000000 * ( 2 ^ 16 )好了,现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见,最高位永远是1,因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧?(呵呵,可别拿你买的臭 鸡蛋甩我~),所以这个1我们还有必要保留他吗?(众:没有!)好的,我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了:11100010010000000最后在 尾数的后面补0,一直到补够23位:11100010010000000000000(MD,这些个0差点没把我数的背过气去~)
再回来看指数,一共8位,可以表示范围是0 - 255的无符号整数,也可以表示-128 - 127的有符号整数。但因为指数是可以为负的,所以为了统一把十进制的整数化为二进制时,都先加上127,在这里,我们的16加上127后就变成了 143,二进制表示为:10001111
12345.0f这个数是正的,所以符号位是0,那么我们按照前面讲的格式把它拼起来:
0 10001111 11100010010000000000000
01000111 11110001 00100000 00000000
再转化为16进制为:47 F1 20 00,最后把它翻过来,就成了:00 20 F1 47。
现在你自己把654321转为二进制表示,自己动手练一下!
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gcxin_cauc 发表于 2012-10-22 00:41

这篇文章写得很好呀,我正好在搞这个!

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